Non è ancora chiaro quale sia il suo scopo al di là del muro, ma sappiamo alcune cose e quindi possiamo speculare.
Primo e più importante: i White Walker furono creati secoli fa prima della lunga notte dai Children of the Forest come arma per combattere i primi uomini come si può vedere nello show televisivo.
Secondo: dopo la creazione degli Estranei, sia gli uomini che i Children of the Forest hanno dovuto combatterli. Entrambi hanno stretto un'alleanza e sono stati in grado di sconfiggere i White Walker (la leggenda Azor Ahai risale a questo periodo di tempo). Successivamente, hanno costruito il muro e per qualche tempo i Figli della Foresta hanno persino fornito la Ronda di Notte con Vetro di Drago nel caso dei Walker tornati.
Da questo, possiamo ipotizzare che la magia che ha creato i White Walkers e hanno sbagliato e si sono rivoltati contro tutti sulla loro strada. Potrebbero essere solo un'arma fuori controllo (non ci credo) oppure potrebbero essere coscienti e desiderare vendetta o addirittura voler conquistare Westeros.
Personalmente, tendo a credere che la vendetta lo farebbe essere più plausibile dal modo in cui è stato creato il Re della Notte (il primo Night Walker). Era solo un uomo, probabilmente un soldato dei primi uomini catturati dai Figli della Foresta.
[MODIFICA]
Come commentato sotto il muro è stato costruito dopo la creazione del Re della Notte. (Il Re della Notte è il motivo per cui è stato costruito il muro)
Ancora una volta, non sappiamo ancora il suo obiettivo, questa è solo una speculazione.